Définition :
Soit \(M\) \(\subset{\Bbb R}^n\) non vide
On dit que \(M\) est une sous-variété de dimension \(d\in{\Bbb N}\) si \(\forall a\in M\), \(\exists U\in\mathcal V(a)\) ouvert et \(\exists V\in\mathcal V(0)\) ouvert de \({\Bbb R}^n\) et \(\phi\) un difféomorphisme de \(U\) sur \(V\) tels que $${{\phi(a)=0\quad\text{ et }\quad\phi(U\cap M)=V\cap\{{\Bbb R}^d\times\{0_{n-d}\}\} }}$$
Si \(\phi\) est de classe \(\mathcal C^k\), on dit que \(M\) est de classe \(\mathcal C^k\)
Propriétés
Dimension
Proposition :
La dimension d'une sous-variété est unique et est unique pour tous les points de la sous-variété
Ouverts homéomorphes
Proposition :
Si \(U\subset{\Bbb R}^n\) et \(V\subset{\Bbb R}^p\) sont deux ouverts homéomorphes, alors \(n=p\)
(Homéomorphisme)
Définition :
Soit \(M\subset{\Bbb R}^n\) et \(M^\prime\subset{\Bbb R}^{n^\prime}\) deux sous-variétés de dimension \(d\) et \(d^\prime\) et soit \(f:M\to M^\prime\)
On dit que \(f\) est différentiable en \(x\in M\) si :
\(\exists U\in \mathcal V(x)\) ouvert, \(V\in\mathcal V(0)\) ouvert de \({\Bbb R}^n\) et \(\phi\) un \(\mathcal C^1\)-difféomorphisme de \(U\) sur \(V\) tq \(\phi(U\cap M)=V\cap\{{\Bbb R}^d\times\{0_{n-d}\}\}\)
\(\exists U^\prime\in \mathcal V(x)\) ouvert, \(V^\prime\in\mathcal V(0)\) ouvert de \({\Bbb R}^n\) et \(\psi\) un \(\mathcal C^1\)-difféomorphisme de \(U^\prime\) sur \(V^\prime\) tq \(\psi(U^\prime\cap M)=V^\prime\cap\{{\Bbb R}^{d^\prime}\times\{0_{n-d^\prime}\}\}\)
L'application \(\psi\circ f\circ\phi^{-1}\) est différentiable en \(0\)
Propriétés
Proposition :
La différentiabilité de \(f:M\to M^\prime\) ne dépend pas du choix de \(\phi\) et \(\psi\) (c'est bien une définition)
Proposition :
Si \(f:M\to M^\prime\) est différentiable en un point \(x\in M\), et si \(v\in T_xM\), soit \(\gamma\in\mathcal C^1\) définie sur un voisinage ouvert de \(0\) tq \(\gamma^\prime(0)=v\) et \(\gamma(0)=x\), alors \(f\circ\gamma\) est dérivable et \((f\circ\gamma)^\prime(0)\) est indépendant de \(\gamma\)
Définition :
Soit \(f:M\to M^\prime\) différentiable en \(x\) et soit \(v\in T_xM\)
Soit \(\gamma\in\mathcal C^1\) définie sur un voisinage ouvert de \(0\) tq \(\gamma^\prime(0)=v\) et \(\gamma(0)=x\)
Alors on définit la différentielle de \(f\) en \(x\) par : $$df(x)(v)={{(f\circ\gamma)^\prime(0)}}$$
On l'appelle application tangente et on la note \(T_xf\)
Exemples
[!Example] Exemples/Contre-exemples de sous-variétés
exemples : un cercle, une droite, une courbe
contre-exemples : la courbe de \(\operatorname{abs}\), l'intersection de deux droites
